wolffmichl.de Dreisatz

Der Dreisatz

... ist für viele Leute ein Buch mit sieben Siegeln. Hier der hoffentlich verständliche Versuch einer Erklärung.

Zur Untermauerung habe ich einige Personen gefragt: Wenn ein Zentner Kartoffeln 20 EURO kostet, was kosten dann 10 Kilo? Die Antworten reichten von: "Äh, ein Zentner sind doch 50 Kilo?" - Bestätigung - Nachdenken, dann: "Das weiß ich jetzt nicht." über "Laß´ mich mit dem Zeug in Ruhe, das habe ich schon in der Schule nicht begriffen" bis zu (richtig!): "4 Euro."

Also: wenn Sie die Antwort nicht sofort parat haben, braucht Ihnen das nicht peinlich zu sein; Sie befinden sich vielmehr in bester Gesellschaft!

Vorüberlegungen

Der zweite Punkt, gerade wenn Sie etwas unsicher sind, ist das grobe Schätzen nach Augenmaß. Es gibt Verhältnisse, die jeder im Kopf hat: "Was ist eine halbe Mark?" Richtig: 50 Pfennig. Im Prinzip auch ein Dreisatz, bei dem ungesagt (und nur unbewußt gedacht) folgende Rechnung vor sich geht: 1 Mark = 100 Pfennig; 1/2 Mark = ? Pfennig; Auflösung nach ? durch Halbierung der Gleichung; Ergebnis: 50 ist die Hälfte von 100, also: ? = 50 Pfennig.

Die gröbste Form des Schätzens ist die Vorhersage, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der zugrundeliegende Wert sein muß. Ein weiterer Schritt wäre die Voraussage, ob das Ergebnis kleiner oder größer als die Hälfte ist; anhand des Kartoffelbeispiels also: 10 kg sind weniger als die Hälfte von 50 kg, also muß der Preis weniger als die Hälfte von 20 EURO betragen. Anhand so einer Schätzung läßt sich gut überprüfen, ob die Rechnung richtig war oder sich ein Fehler eingeschlichen hat.

Drittens ist es durchaus nützlich, einzelne Aussagen der Aufgabenstellung zunächst einmal in eigene Worte (Sätze) zu fassen und ggf. zu notieren; diese können dann in eine eher mathematische Ausdrucksweise, also die eigentliche Rechnung, übersetzt werden.

Die Gleichung

Durch Anwendung beliebiger Grundrechenarten auf beide Seiten der Gleichung ändern sich zwar die Werte, aber es kommt immer wieder eine Gleichung heraus. Dabei ist es üblich, die entsprechende Rechenoperation (ReOp.) mit zwei senkrechten Strichen getrennt rechts neben die Gleichung zu schreiben. Das könnte dann so aussehen:

2+2=4        ll +2 hier ist der Wert links und rechts jeweils 4
2+2+2=4+2 ll hier ist der Wert links und rechts jeweils 6

Weil es am Bildschirm schöner aussieht (*), machen wir das jetzt in Tabellenform:

	links		rechts	ReOp.
1.	2+2	=	4	+2
2.	2+2+2	=	4+2

Das läßt sich mit + und - sehr leicht nachprüfen; schwieriger wird es bei · und :; hier muß jede einzelne Zahl (von denen, die mit + oder - verbunden sind) berücksichtigt werden, also:

	links		rechts	Wert	ReOp.
1.	2+2	=	4	4	·2
2.	2·2+2·2	=	4·2	8	rechnen
2.	4+4	=	8	8

Warum das so ist? Eigentlich auch ganz logisch: angenommen, Sie gewinnen eine Wette, bei der Ihr Einsatz von 1 DM und 1 EUR verdoppelt (also ·2 genommen) wird; hinterher haben Sie nämlich 2 DM und 2 EUR. Im Schema der obigen Darstellung:

	links		rechts	Wert	ReOp.
1.	1DM+1EUR	=	Einsatz	ein Einsatz	·2
2.	1DM·2+1EUR·2	=	Einsatz·2	doppelter Einsatz	rechnen
2.	2DM+2EUR	=	Einsatz·2	doppelter Einsatz

Sie sehen also: durch die Anwendung der vier Grundrechenarten bleibt die Gleichheit erhalten! Um den Dreisatz auszuführen, ist nun nichts weiter nötig, als in einer Nebenrechnung zu ermitteln, welche Rechenoperation ausgeführt werden muß.

Dreisatz direkt proportional

Bleiben wir beim obigen Beispiel mit den Kartoffeln: 50 Kilo (kg) entspricht 20 EUR, 10 Kilo entspricht wieviel EUR?

In die Zeilen 1 und zwei tragen Sie die bekannten Werte ein, Zeile 3 skizziert die Nebenrechnung (NR), die Sie in der Praxis im Kopf, mit dem Taschenrechner oder z.B. EXCEL ausführen. Die Zeile 1a entspricht der Zeile 1, nur daß hier die Rechenoperation eingefügt wurde. 50 geteilt durch 10 ist 5, also ist 50 geteilt durch 5 auch 10. Also ist :5 die gesuchte Rechenoperation. Schließlich ergibt in Zeile 2a 20 geteilt durch 5 eben das Ergebnis des Dreisatzes mit 4.

A)	Kart.kg		EURO	ReOp.
1.	50	:	20	was?
2.	10	:	?
3.	NR: 50:10=5, also ReOp :5
1a	50	:	20	:5
2a	10	:	4

Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein, daß sich in dieser Tabelle anstelle des = ein : befindet. 50 ist eben nicht 20. Nicht als Zahl und auch nicht inhaltlich: Kartoffeln sind Kartoffeln, und Geld ist Geld. Der verwendete : ist also eher als ein "entspricht" gedacht.

Dieses "entspricht" funktioniert aber auch als Rechenzeichen! Sehen Sie sich die folgende Tabelle an:

B)	Kart.kg		EURO		Ergebnis	ReOp.
1.	50	:	20	=	2,5	:2,5
2.	10	: 2,5 =	4	=	2,5

Beide Tabellen haben gemeinsam, daß die Werte mit gleicher Einheit untereinander notiert wurden. Ob der höhere oder der kleinere (bekannte) Wert oben oder unten steht, ist unwichtig; wichtig ist vielmehr, daß die Zahlen so eingetragen werden, daß der gesuchte Wert in der 2. Zeile rechts des "entspricht" steht.

In der ersten Tabelle A) wird von oben (Zeile 1) nach unten (Zeile 2) gerechnet, in der zweiten Tabelle B) jeweils in der gleichen Zeile von links nach rechts, was die Nebenrechnung überflüssig macht und insofern vorzuziehen ist (je weniger Rechenschritte, desto weniger Fehlerquellen).

Also noch ein Beispiel: Zwanzig Bürsten kosten 40 Euro; wieviel kosten 80 Bürsten?

C)	Bürsten		EURO		Ergebnis	ReOp.
1.	20	:	40	=	0,5	:0,5
2.	80	: 0,5 =	160	=	0,5

Das geht natürlich locker im Kopf; 80 ist das Vierfache von 20, also ist der Preis viermal so hoch wie 40 EUR, nämlich 160 EUR. Andrerseits geht es hier darum, Ihnen eine beispielhafte Rechnung zu zeigen, die immer funktioniert. Und das können Sie jederzeit mit dem Taschenrechner nachvollziehen: 80:0,5= na? 160. Auch ganz logisch: 0,5 ist die Hälfte; die Hälfte von einer Mark sind 50 Pfg.; in eine Mark passen (vom Wert her) 2 50 Pfg.-Stücke hinein. 1 Mark : 50 Pfg ist also = 2. Und dann sind 80 Mark : 0,5 eben auch 160 Mark.

Wenn Sie mit einer größeren Menge Zahlen zu tun haben, ist es sicher lästig, diese Kästchen zu verwenden. Deshalb überlegen wir nun, was wir eigentlich bei obigen Rechnungen (Tabellen B und C) getan haben, und zwar zunächst anhand einer allgemeinen Tabelle D:

D)	Einheit 1		Einheit 2		Ergebnis	ReOp.
1.	Bek. Wert 1	:	Bek. Wert 2	=	Ergebnis	: Ergebnis
2.	Bek. Wert 3	: Ergebnis =	ges. Wert

In Worten: wir teilen zunächst den bekannten Wert 1 durch den bekannten Wert 2, merken uns dieses Ergebnis und erhalten den gesuchten Wert, indem wir den bekannten Wert 3 dadurch teilen. Diesen Satz kann man etwas umstellen, damit man sich kein (Zwischen-) Ergebnis merken muß: indem man den bekannten Wert 3 durch das Ergebnis der Teilung des bekannten Werts 1 durch den bekannten Wert 2 teilt, erhält man den gesuchten Wert. Und zu guter Letzt als Formel notiert:

bekannter Wert 3 : (bekannter Wert 1 : bekannter Wert 2) = (gesuchter Wert)
mit Zahlen aus Tabelle C ausprobiert: 80 : (20 : 40) = 160

Wenn Sie das so (mit diesen Klammern!) in den Taschenrechner klopfen, stimmt das Ergebnis; wenn Sie einen Taschenrechner ohne Klammern haben, verwenden Sie die leicht geänderte Formel:

bekannter Wert 3 : bekannter Wert 1 · bekannter Wert 2 = (gesuchter Wert)
mit Zahlen aus Tabelle C ausprobiert: 80 : 20 · 40 = 160

Bei der Verwendung von Excel sind beide Varianten gleichwertig; ich würde die untere vorziehen, damit man bei der Eingabe nicht die Klammern vergißt. Dabei zu beachten ist, daß solche Formeln in Excel mit dem = beginnen müssen, also etwa:

=80:20·40

...und Entertaste, dann sehen Sie die 160 in der Zelle.

Bis Sie sich sicher bei der Reihenfolge der Zahlen fühlen, sollten Sie die Zahlen in das obige Tabellenschema eintragen.

Übungsaufgaben

Unter den Übungsaufgaben finden Sie noch eine erweiterte Kästchenvariante, mit der Sie sich, wenn Sie Lust haben, noch beschäftigen können. Im Prinzip ist es aber nicht nötig; mit dem bisher gezeigten (und einem Taschenrechner bzw. Kalkulationsprogramm) sollten Sie die folgenden Aufgaben lösen können.

Die Einheiten wurden bei den Lösungsvorschlägen mathematisch korrekt mitgerechnet; im Tabellenschema ergibt sich die Einheit des Ergebnisses aus der Überschrift.

Sie leben in einem Haus mit sechs Wohnungen, die insgesamt 300 qm Wohnfläche haben und von 10 Personen bewohnt werden.
1. Ihre Wohnung hat 60 qm. Die Kosten für den Winterdienst werden nach qm umgelegt und betragen 375 Euro. Wie hoch ist Ihr Anteil? Lösung
2. Sie wohnen zu zweit in der Wohnung; die Kosten für Müllabfuhr betragen 800 Euro und werden nach Personen umgelegt. Wie hoch ist Ihr Anteil? Lösung
3. Die Kosten für den Hausmeister (1200 Euro) werden zu gleichen Teilen auf alle Wohnungen umgelegt. Wie hoch ist Ihr Anteil? Lösung
4. Die Müllkosten werden nach Quadratmetern (qm) umgelegt und betragen 180 Euro für Ihre Wohnung. Wie hoch sind die Gesamtkosten? Lösung

Weitere Aufgaben (auf eine Nachkommastelle gerundet)...

5. Drei Meter Eisenprofil wiegen 15,3 kg. Wieviel wiegen 5 Meter? Lösung
6. Ihr Auto verbraucht bei 100 km/h 7 Liter auf 100 km; Sie fahren mit konstanter Geschwindigkeit (100 km/h) 380 km; wieviel Sprit haben Sie verbraucht? Lösung
7. Ein Kanister Öl enthält 3,5 Liter; der Kanister wiegt leer 600g; die Füllung wiegt 3,2 kg. Wieviel wiegt der Kanister samt Füllung, nachdem Sie 1,3 Liter herausgegossen haben? Lösung

Erweiterte Variante

Sie haben oben zwei Rechenrichtungen (von oben nach unten mit Zwischenrechnung und von links nach rechts) kennengelernt. Gerade bei handlichen Zahlen, die man im Kopf rechnen kann, ist die Variante von oben nach unten manchmal schöner zu rechnen. Hier also das erweiterte Schema E, das sich für beide Richtungen eignet:

E)

Einheit 1

Einheit 2

Ergebnis

F)

kg

EUR

Ergebnis

1.

Bek. Wert 1

:

Bek. Wert 2

=

ErgebnisA

1.

50

:

20

=

2,5

2.

:

: ErgebnisB =

2.

:

: 5 =

3.

Bek. Wert 3

: ErgebnisA =

ges. Wert

3.

10

: 2,5 =

4

4.

= ErgebnisB

4.

= 5

In Tabelle E steht der allgemeine Weg, in Tabelle F das Rechenbeispiel mit den Kartoffeln.